Questão 56

UNICAMP 2022

Matemática

(UNICAMP - 2022 - 1ª fase - Caderno R) No dia 23 de março de 2021, um navio encalhou no canal de Suez, no Egito. A embarcação tinha 400 metros de comprimento e 60 metros de largura. No ponto onde aconteceu o acidente, o canal de Suez não tem mais do que 200 metros de largura. Abaixo apresentamos uma foto de satélite e uma figura representando a situação. O ângulo $alpha$ indicado na figura abaixo mede 67,5°.

A largura do canal, medida em metros e indicada por L na figura anterior, é:

Dados:

cos(2𝜃) = 2 cos2(𝜃) − 1
sen(2𝜃) = 2sen(𝜃) cos(𝜃).

$400sqrt{2-sqrt{2}}-60sqrt{2+sqrt{2}}approx 195,3$

$200sqrt{2-sqrt{2}}-15sqrt{2+sqrt{2}}approx 125,4$

$200sqrt{2-sqrt{2}}+15sqrt{2+sqrt{2}}approx 180,8$

$200sqrt{3-sqrt{3}}-15sqrt{3+sqrt{3}}approx 192,6$

Gabarito:

$200sqrt{2-sqrt{2}}+15sqrt{2+sqrt{2}}approx 180,8$

Resolução:

Veja a figura esquemática a seguir:

Precisamos encontrar o valor de x e de y.

Para x:

$sen(w)=frac{x}{30}$

$x=30sen(w)$

Para y:

$cos(w)=frac{y}{400}$

$y=400cos(w)$

Largura do canal: $L=x+y=30sen(w)+400cos(w)$ .

$I) cos (2alpha) = 2 cos^{2} alpha - 1 = 1 -2sen^{2}alpha$

Portanto,

$cos alpha = sqrt{frac{cos(2 alpha + 1)}{2} } e sen (alpha) = sqrt{frac{1-cos(2alpha)}{2}}$

Pois veja que o ângulo $alpha$ é agudo.

Realizando $alpha = 67,5$ , temos:

$\ cos alpha = sqrt{frac{cos 135 + 1}{2}} = sqrt{frac{frac{-sqrt{2}}{2}+1}{2}} =sqrt{frac{2-2sqrt{2}}{4}} = frac{sqrt{2-sqrt{2}}}{2}$

$\ sen alpha = sqrt{frac{1-cos135}{2}} = sqrt{frac{1+frac{sqrt{2}}{2}}{2}} = sqrt{frac{2 + sqrt{2}}{4}} = frac{sqrt{2+sqrt{2}}}{2}$

Podemos encontrar o valor de L:

$L=30 cdot frac{sqrt{2+sqrt{2}}}{2}+400 cdot frac{sqrt{2-sqrt{2}}}{2}$

$L=200sqrt{2-sqrt{2}}+15sqrt{2+sqrt{2}}$

Alternativa correta é Letra C.

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