Questão 52

UNICAMP 2022

Matemática

(UNICAMP - 2022 - 1ª fase - Caderno R) Considere a matriz

$A = egin{pmatrix} 1 & k\ 3 & k^2 end{pmatrix}$

e seja B = A + AT, onde AT é a transposta da matriz A. Sobre o sistema

$Begin{pmatrix} x\ y end{pmatrix}=egin{pmatrix} 2021\ 2022 end{pmatrix}$

é correto afirmar que:

se k = 0, o sistema não tem solução.

se k = −1, o sistema tem infinitas soluções.

se k = −1, o sistema não tem solução.

se k = 3, o sistema tem infinitas soluções.

Gabarito:

se k = −1, o sistema não tem solução.

Resolução:

Vamos encontrar a transposta da matriz A:

$A=egin{pmatrix} 1 & k \ 3 & k^2 \ end{pmatrix}$

$A^{T} = egin{pmatrix} 1 & 3 \ k & k^2 \ end{pmatrix}$

Matriz B:

$B=A+A^{T}$

$B=egin{pmatrix} 1 & k \ 3 & k^2 \ end{pmatrix}+egin{pmatrix} 1 & 3 \ k & k^2 \ end{pmatrix}$

$B=egin{pmatrix} 2 & 3+k \ k+3 & 2k^2 \ end{pmatrix}$

Para resolver o sistema com a matriz B, vamos fazer um escalonamento:

$egin{pmatrix} 2 & 3+k & | & 2021 \ 3+k & 2k^2 & | & 2022 end{pmatrix}$

Multiplicando a primeira linha por $(3+k)$ e a segunda linha por $2$ :

$egin{pmatrix} 2(3+k) & 9+6k+k^2 & | & 6063+2021k \ 2(3+k) & 4k^2 & | & 4044 end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} 2(3+k) & 9+6k+k^2 & | & 6063+2021k \ 0 & 3k^2-6k-9 & | & -2019-2021k end{pmatrix}$

Agora podemos testar as alternativas:

1) Se $k=0$ , temos que $9y=2019$ , então o sistema tem solução.

2) Se $k=-1$ , temos que $0cdot y=2$ , o sistema é impossível.

3) Se $k=3$ , temos que $0cdot y=-8082$ , o sistema é impossível.

Alternativa correta é Letra C.

Questões relacionadas

Questão 45

(UNICAMP - 2022 - 1ª fase - Caderno R) Certo país adquiriu 5.000.000 de doses das vacinas Alfa, Beta e Gama, pagando um preço de $40.000.000,00 pelo total. Cada dose das vacina...

Ver questão

Questão 46

(UNICAMP - 2022 - 1ª fase - Caderno R) Certo modelo de carro é vendido em duas versões: uma a gasolina e outra híbrida. Essa última versão conta com um motor el...

Ver questão

Questão 47

(UNICAMP - 2022 - 1ª fase - Caderno R) As figuras abaixo ilustram, respectivamente, os gráficos das funções y = f(x) e y = g(x). Então f(g(&mi...

Ver questão

Questão 48

(UNICAMP - 2022 - 1ª fase - Caderno R) Dados os números reais positivos a1, a2, ..., an, a média geométrica M destes termos é calculada por: . A méd...

Ver questão