Questão 51
UNICAMP 2022
(UNICAMP - 2022 - 1ª fase - Caderno R) Um círculo está inscrito em um quadrilátero ABCD. Seja T o ponto de tangência do lado DA com o círculo. Sabe-se que as medidas dos lados AB, BC e CD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente de números inteiros e que a medida do lado DA é 3. Considerando que a medida do segmento TA é um número inteiro, as medidas dos lados AB, BC e CD são, respectivamente:
1, 3, 5.
2, 3, 4.
2, 4, 6.
3, 4, 5.
Gabarito:
2, 3, 4.
Resolução:
Veja essa figura. Note que a-r, a, a+r é uma progressão aritmética, como está no enunciado. Além disso, x é um valor inteiro.
Segundo o Teorema de Pitot:
Agora sabemos que o valor intermediário da sequência mede 3, o que restringe nossa resposta às alternativas A e B.
Se A for a alternativa correta, temos que AB mede 1. Mas, pelo Teorema do Bico, sabemos que AT=AP e, assim, x teria um valor menor que 1, que não seria um valor inteiro, o que foge ao enunciado.
Dessa forma, por exclusão, temos que a alternativa correta é a Letra B.