Questão 7

UNICAMP 2021

Matemática

(UNICAMP - 2021 - 2ª FASE)

Considere um número real 𝑡 ∈ [0,2𝜋) e defina a matriz

$H=egin{pmatrix} 1 & 0\ 0 & 1 end{pmatrix} - 2egin{pmatrix} cos^2(t) &cos(t)sen(t) \ cos(t)sen(t)& sen^2(t) end{pmatrix}$ .

a) Mostre que a matriz 𝐻 é invertível.

b) Determine valores de 𝑡 tais que $Hcdotinom{3}{2}=inom{2}{3}$ .

Gabarito:

Resolução:

H é invertível se, e somente se, det(H) é diferente de zero.

Vamos calcular H:

$egin{bmatrix} 1 &0 \ 0 &1 end{bmatrix}- egin{bmatrix} 2cos^2t &2costsent \ 2costsent &2sen^2t end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1-2cos^2t &-2costsent \ -2costsent &1-2sen^2t end{bmatrix}$

Mas lembre-se que $cos2t=cos^2t-sen^2t=2cos^2t-1=1-2sen^2t$ e que $2costsent=2sentcost=sen2t$ . Logo:

$H=egin{bmatrix} 1-2cos^2t &-2costsent \ -2costsent &1-2sen^2t end{bmatrix}=egin{bmatrix} -cos2t &-sen2t \ -sen2t &cos2t end{bmatrix}Rightarrow$

$Rightarrow detH=left(-cos^22t ight )-left(sen^2t ight )=-left(cos^2t+sen^2t ight )=-1 eq0$

Logo, detH não é zero e, portanto, H é invertível.

$Hcdot egin{bmatrix} 3\ 2 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 2\ 3 end{bmatrix}Rightarrowegin{bmatrix} -cos2t &-sen2t \ -sen2t & cos2t end{bmatrix}cdot egin{bmatrix} 3\ 2 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 2\ 3 end{bmatrix}Rightarrow$

$egin{bmatrix} -3cos2t-2sen2t\ -3sen2t+2cos2t end{bmatrix}=egin{bmatrix} 2\ 3 end{bmatrix}$

Isto dá um sistema de equações:

$-3cos2t-2sen2t=2$
$-3sen2t+2cos2t=3$

Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2 obtemos:

$-9cos2t-6sen2t=6$
$-6sen2t+4cos2t=6$

Subtraindo a segunda pela primeira:

$4cos2t-6sen2t-left(-9cos2t-6sen2t ight )=6-6=0Rightarrow 13cos2t=0Rightarrow$

$Rightarrow cos2t=0$

$2t=frac{pi}{2}+kpi$ , $kin mathbb{Z}$

$t=frac{pi}{4}+frac{kpi}{2}$ , $kin mathbb{Z}$

Como estamos trabalhando no intervalo [0,2𝜋), temos como solução somente os valores $frac{pi}{4}$ , $frac{3pi}{4}$ , $frac{5pi}{4}$ e $frac{7pi}{4}$ .

$S={ frac{pi}{4},frac{3pi}{4}, frac{5pi}{4},frac{7pi}{4} }$

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