Questão 22

UNICAMP 2021

Matemática

(UNICAMP - 2021)

A soma dos valores de 𝑥 que resolvem a equação

$frac{frac{1}{2}+frac{1}{3}}{frac{x}{4}+frac{1}{x}}=frac{1}{2}$

é igual a

$frac{14}{3}$

$frac{16}{3}$

$frac{18}{3}$

$frac{20}{3}$

Gabarito:

$frac{20}{3}$

Resolução:

$frac{frac{1}{2}+frac{1}{3}}{frac{x}{4}+frac{1}{x}}=frac{1}{2}$

$frac{frac{3+2}{6}}{frac{x^2+4}{4x}}=frac{1}{2} ext{, para }x eq0$

$frac{frac{5}{6}}{frac{x^2+4}{4x}}=frac{1}{2} ightarrow frac{5}{6}cdot 2=frac{x^2+4}{4x} ightarrow frac{5}{3}=frac{x^2+4}{4x}$

$20x=3x^2+12 ightarrow 3x^2-20x+12=0$

$Delta=(20)^2-4cdot3cdot12=400-144=256$

$x=frac{20pm sqrt{256}}{2cdot 3}$

$x=frac{20pm 16}{6}$

$\ x=frac{36}{6} ext{ ou } x=frac{4}{6}$

$x=6 ext{ ou }x=frac{2}{3}$

Logo, $S=frac{2}{3}+6=frac{2+18}{3}=frac{20}{3}$

Ou, pode-se obter a soma das raízes pelos coeficientes da equação

$S=frac{-b}{a}=-left(frac{-20}{3} ight )=frac{20}{3}$

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