Questão 45

UNICAMP 2021

Matemática

(UNICAMP - 2021 - 1ª FASE - 2º dia de aplicação)

Sabendo que 10^0,3 < 2 < 10^0,31 e que x é tal que $sqrt[2021]{10^{3x+5}}=20$ , então

$855leq x<870$ .

$870leq x<885$ .

$885leq x<900$ .

$900leq x<1005$ .

Gabarito:

$870leq x<885$ .

Resolução:

Elevando a expressão $sqrt[2021]{10^{3x+5}}=20$ a 2021 obtemos:

$10^{3x+5}=20^{2021}$

Separando $20^{2021}$ em $20^{2021}=left(2cdot10 ight )^{2021}=2^{2021}cdot10^{2021}$ podemos fazer:

$10^{3x+5}=20^{2021}=2^{2021}cdot10^{2021}Rightarrow frac{10^{3x+5}}{10^{2021}}=2^{2021}Rightarrow 10^{3x-2016}=2^{2021}Rightarrow$

$Rightarrow 10^{3x-2016}=2^{2021}Rightarrowleft(10^{3} ight )^{x-672}=2^{2021}$

Agora vamos fazer o seguinte:

$10^{0,31}=10^{0,3}cdot10^{0,01}=sqrt[10]{10^{3}cdot10^{0,1}}$ , como $10^{0,1}=10^{frac{0,3}{3}}=sqrt[3]{10^{0,3}}$ , então temos que a expressão final é $10^{0,31}=sqrt[10]{10^3cdotsqrt[3]{10^{0,3}}}Rightarrow left(10^{0,31} ight )^{10}=10^3cdotsqrt[3]{10^{0,3}}Rightarrow10^3=frac{left(10^{0,31} ight )^{10}}{sqrt[3]{10^{0,3}}}$

Aplicando este valor encontrado na expressão inicial:

$left(10^{3} ight )^{x-672}=2^{2021}Rightarrowleft(frac{left(10^{0,31} ight )^{10}}{sqrt[3]{10^{0,3}}} ight )^{x-672}=2^{2021}Rightarrow$

$Rightarrow left(10^{0,31} ight )^{10cdotleft(x-672 ight )}=left(sqrt[3]{10^{0,3}} ight )^{x-672}cdot2^{2021}$

Agora, lembrando que $10^{0,31}>2$ e que $10^{0,3}<2$ , então podemos escrever que

$left(sqrt[3]{10^{0,3}} ight )^{x-672}cdot2^{2021}<left(sqrt[3]{2} ight )^{x-672}cdot2^{2021}$ e $left(10^{0,31} ight )^{10cdotleft(x-672 ight )}>left(2 ight )^{10cdotleft(x-672 ight )}$ .

Assim, podemos fazer:

$left(2 ight )^{10cdotleft(x-672 ight )}<left(sqrt[3]{2} ight )^{x-672}cdot2^{2021}Rightarrow2^{10x-6720}<2^{frac{x-672}{3}+2021}Rightarrow$

$Rightarrow 10x-6720<frac{x-672+3cdot2021}{3}Rightarrow 30x-3cdot6720< x-672+3cdot2021Rightarrow$

$Rightarrow29x < 25551Rightarrow x<frac{25551}{29}approx881Rightarrow x<881$

Agora vamos fazer por outro caminho dado a expressão $left(10^{3} ight )^{x-672}=2^{2021}$ :

Sabendo que $10^3=10^{0,3cdot10}Rightarrow10^{0,3cdotleft(10x-6720 ight )}=2^{2021}$ e que $10^{0,3}<2$ , então

$10^{0,3cdotleft(10x-6720 ight )}=left(10^{0,3} ight )^{left(10x-6720 ight )}<2^{10x-6720}$ e, portanto,

$left(10^{3} ight )^{x-672}=2^{2021}Rightarrow 2^{10x-6720}>2^{2021}Rightarrow$

$Rightarrow 10x-6720>2021Rightarrow 10x>8741Rightarrow x>874,1$

Desta forma, $874,1 < x < 881$ . A Letra B é a alternativa correta.

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