Questão 23

UNICAMP 2021

Matemática

(UNICAMP - 2021 - 1ª FASE)

Sejam p(x) e q(x) polinômios de grau 2 tais que p(0) < q(0). Sabendo que p(1) = q(1) e p(-1) = q(-1), o gráfico de f(x) = p(x) - q(x) pode ser representado por

Gabarito:

Resolução:

Sejam os polinômios dados por:

$p(x)=ax^2+bx+c$

$q(x)=mx^2+nx+p$

(I) • Como p(0) = c e q(0) = p e p(0) < q(0), temos que c <p.

(II) • $p(1)=a+b+c=q(1)=m+n+pRightarrow a+b+c=m+n+p$

(III) • $p(-1)=q(-1)=Rightarrow a-b+c=m-n+p$

Subtraindo (III) de (II) temos que:

$2b=2nRightarrow b=n$ (IV)

Somando (III) e (II( temos que:

$2a+2c=2m+2pRightarrow a+c=m+pRightarrow a-m=p-c$

e de (I) temos que:

$c-p<0$

então $a-m>0 Rightarrow a>m$ (V)

Juntando as informações de (I), (IV) e (V) temos que

$f(x)=(a-m)x^2+(b-n)x+(c-p)$

$(a-m)>0 Rightarrow$ concavidade para cima

$(b-n)x=0Rightarrow$ parábola simétrica ao eixo Y

$(c-p)<0Rightarrow$ corta o eixo Y em Y< 0.

Gabarito: letra [A]

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