Questão 10

UNICAMP 2019

Matemática

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 4)

No plano cartesiano, considere a reta r de equação $2x + y = 1$ e os pontos de coordenadas $A = (1,4)$ e $B = (3,2)$ .

a) Encontre as coordenadas do ponto de intersecção entre a reta r e a reta que passa pelos pontos $A$ e $B$ .

b) Determine a equação da circunferência na qual um dos diâmetros é o segmento $overline{AB}$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Reta entre os pontos A e B:

$frac{y-4}{x-1}=frac{4-2}{1-3} ightarrow frac{y-4}{x-1}=-1$

$y = 5-x (Reta AB)$

Para determinar a interseção resolvemos o sistema:

$left{egin{matrix} 2x+y=1 (reta r) \ x + y = 5 (reta AB) end{matrix} ight.$

Com isso encontramos que: $x = -4 e y = 9$

Logo, o ponto de interseção é: $(-4; 9)$

b) Já que AB é um diâmetro:

O ponto C é o ponto médio, assim:

$(x_C, y_C) = egin{pmatrix} frac{3+1}{2}, frac{4+2}{2} end{pmatrix}$

$(x_C, y_C) = (2,3)$

Tendo o centro, a distância entre AC é o raio:

$d = sqrt{(1-2)^2+(4-3)^2} = sqrt{2}$

logo, a circunferência é:

$(x-2)^2+(y-3)^2=(sqrt{2})^2$

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