Questão 6

UNICAMP 2015

Matemática

(UNICAMP - 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio 𝑟 que tangencia internamente um setor circular de raio 𝑅 e ângulo central 𝜃.

a) Para $heta$ =60º , determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.

b) Determine o valor de cos $heta$ no caso em que $R = 4r$ .

Gabarito:

Resolução:

Quando $heta = 60^{circ}$ , temos que o triangulo formado por um dos pontos de tangencia, pelo centro do circulo interno e o centro do circulo externo tem o angulo que olha para $r$ medindo $30^{circ}$ .

Por conta disso, podemos escrever que:

$sen{30^{circ}} = frac{r}{R-r}$

$frac{1}{2} = frac{r}{R-r}$

$r = frac{R}{3}$

Portanto a razão entre as areas é igual a,

$frac{A_{circ}}{A_{setor}} = frac{r^2pi}{R^2frac{pi}{6}}$

$frac{A_{circ}}{A_{setor}} = frac{6cdot R^2}{R^2cdot9}$

$frac{A_{circ}}{A_{setor}} = frac{2}{3}$

B) $sen{frac{ heta}{2}} = frac{r}{R-r} = frac{1}{3}$

$cos( heta) = 1 - 2 sen^2(frac{ heta}{2})$

$cos( heta) = 1 - 2cdot frac{1}{3^2}$

$cos( heta) = frac{9-2}{9}$

$cos( heta) = frac{7}{9}$

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