Questão 5

UNICAMP 2015

Matemática

(UNICAMP - 2015) Seja (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão 𝑞 ≠ 0 e 𝑎 ≠ 0.

a) Mostre que 𝑥 = −1/𝑞 é uma raiz do polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥² + 𝑑𝑥³.

b) Sejam 𝑒 e 𝑓 números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis 𝑥 e 𝑦, $large egin{pmatrix} a & c \ d & b end{pmatrix} egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = egin{pmatrix} e \ f end{pmatrix}$ . Determine para que valores da razão 𝑞 esse sistema tem solução única

Gabarito:

Resolução:

A) Substituindo as igualdades $b =aq; c =aq^2 ; d= aq^3$ , temos que o polinomio fica igual a,

$p(x) = a + aqx + aq^2x^2 + aq^3x^3$

$p(-frac{1}{q}) = a - aqcdotfrac{1}{q} + aq^2cdotfrac{1}{q^2} - aq^3cdotfrac{1}{q^3}$

$p(-frac{1}{q}) =a-a+a-a = 0$

B) Resolvendo o produto chegamos ao seguinte sistema,

$left{egin{matrix} ax + cy = ax + aq^2y = e\ dx + by = aq^3x + aqy = f end{matrix} ight.$

Para que o sistema tenha solução unica:

$egin{bmatrix} aq & aq^2\ aq^3 & aq end{bmatrix} eq 0$

$a^2q^2 + a^2q^5 eq 0 ightarrow q^3 + 1 eq 0$

$q eq 0$ e $q eq -1$

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