Questão 2

UNICAMP 2015

Matemática

(UNICAMP - 2015) Seja 𝑎 um número real positivo e considere as funções afins 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 3𝑎 e 𝑔(𝑥) = 9 − 2𝑥, definidas para todo número real 𝑥.

a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) > 0.

b) Encontre o valor de 𝑎 tal que 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)) para todo número real 𝑥.

Gabarito:

Resolução:

A) $f(x)cdot g(x)>0$

$(ax+3a)cdot (9-2x)>0$

$a(x+3)cdot (9-2x)>0$

Como $a$ é positivo, podemos fazer o estudo de sinais somente de $(x+3)cdot (9-2x)>0$

i) $x+3>0$

$x>-3$

ii) $9-2x>0$

$9>2x$

$x< frac{9}{2}$

iii)

$-3< x< frac{9}{2}$

Soluções inteiras: $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ → 7 soluções inteiras.

B) $f(g(x))=g(f(x))$

$f(9-2x)=g(ax+a3)$

$a(9-2x)+3a=9-2(ax+a3)$

$9a-2ax+3a=9-2ax-6a$

$18a=9$

$a=frac{1}{2}$

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