Questão 10

UNICAMP 2009

Matemática

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questão 10)

Uma caixa d’água tem o formato de um tronco de pirâmide de bases quadradas e paralelas, como mostra a figura abaixo, na qual são apresentadas as medidas referentes ao interior da caixa.

a) Qual o volume total da caixa d’água?

b) Se a caixa contém (13/6) m3 de água, a que altura de sua base está o nível d’água?

Gabarito:

Resolução:

a) Seja a_ba aresta da base e V o volume total:

$frac{a_{b}}{2} = frac{1}{4} Rightarrow a_{b} = frac{1}{2} m$

Calculando o volume:

$V = frac{3}{3} cdot (2^{2}+(frac{1}{2})^{2}+sqrt{2^{2}cdot (frac{1}{2})^{2}})$

$V = 4 + frac{1}{4} + 1 Rightarrow V = frac{21}{4} m^{3}$

b) Considere V₁o volume da pirâmide menor de altura 1 metro e V₂o volume da pirâmide de altura h+1.

$V_{1} = frac{1}{3} cdot (frac{1}{2})^{2} cdot 1 = frac{1}{12} m^{3}$

$V_{2} = frac{1}{12} + frac{13}{6} = frac{27}{12} m^{3}$

Calculando a razão entre os volumes e as alturas, mantendo a constante de proporcionalidade cúbica:

$(frac{1}{1+h}) ^{3} = frac{V_{1}}{V_{2}}$

$(frac{1}{1+h})^{3} = frac{frac{1}{12}}{frac{27}{12}}$

$frac{1}{1+h} = frac{1}{3} Rightarrow h = 2 m$

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