Questão 9

UNICAMP 2009

Matemática

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questão 9)

A figura abaixo, à esquerda, mostra um sapo de origami, a arte japonesa das dobraduras de papel. A figura à direita mostra o diagrama usado para a confecção do sapo, na qual se utiliza um retângulo de papel com arestas iguais a c e 2c. As linhas representam as dobras que devem ser feitas. As partes destacadas correspondem à parte superior e à pata direita do sapo, e são objeto das perguntas a seguir.

a) Quais devem ser as dimensões, em centímetros, do retângulo de papel usado para confeccionar um sapo cuja parte superior tem área igual a 12cm2 ?

b) Qual a razão entre os comprimentos das arestas a e b da pata direita do sapo?

Gabarito:

Resolução:

a) A parte superior do sapo é composta por retângulos de dimensões:

E por um triângulo isósceles de base c/2 e altura c/4.

Portanto, para que a área seja igual a 12, temos que a soma da área do retângulo e do triângulo seja igual a 12 cm²:

$frac{c}{2} cdot frac{c}{4} + frac{1}{2} cdot frac{c}{2} cdot frac{c}{4} = 12 cm^{2}$

$3 c^{2} = 192 cm^{2} Rightarrow c^{2} = 64 cm^{2} ightarrow c = 8 cm$

Logo, as dimensões do retângulo de papel utilizado o sapo são c = 8cm e 2c = 16 cm.

I) $cos 2eta = 2cos^{2}eta - 1$

$cos(frac{pi}{4}) = 2cos^{2}eta - 1$

$frac{sqrt{2}}{2} = 2 cos^{2}eta - 1$

$cos^{2}eta = frac{1}{2} + frac{sqrt{2}}{4}$

$coseta = frac{sqrt{2+sqrt{2}}}{2}$

Isso porque o ângulo beta é maior que zero e menor que 90º.

II) No triângulo ABC, pela lei dos senos:

$frac{a}{sen2eta} = frac{b}{sen eta}$

$frac{a}{b} = frac{sen2eta}{sen eta}$

$frac{a}{b} = frac{2seneta cos eta}{sen eta}$

$frac{a}{b} = 2 cos eta$

Portanto:

$frac{a}{b} = 2 cdot frac{sqrt{2+sqrt{2}}}{2} = sqrt{2+sqrt{2}}$

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