Questão 7

UNICAMP 2009

Matemática

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questão 7)

O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de $t$ , o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é $T(t) = (T_0 - T_{ext}).10^{-t/4} + T_{ext}$ , onde $T_0$ é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e $T{ext}$ é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que $T_0 = 21^oC$ e $T{ext} = 30^oC$ , responda às questões abaixo.

a) Calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar condicionado. Em seguida, esboçe abaixo o gráfico de $T(t)$ .

b) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para que a temperatura subisse 4ºC. Se necessário, use $log_{10}2 approx 0,30$ , $log_{10} 3 approx 0,48$ e $log_{10} 5 approx 0,70$ .

Gabarito:

Resolução:

a) De acordo com o enunciado, temos, para a temperatura T em ºC:

$T(t) = (T_{0} - T_{ext}) cdot 10^{-frac{t}{4}} + T_{ext}$

$T(t) = (21-30) cdot 10^{-frac{t}{4}} + 30$

$T(t) = 30 - 9 cdot 10^{-frac{t}{4}}$

Para t = 4:

$T(4) = 30 - 9 cdot 10^{-1}$

$T(4) = 30 - 0,9 Rightarrow T(4) = 29,1$

O gráfico de T em função de t é:

b) Para que a temperatura subir 4 graus T(t) = 25:

$30 - 9 cdot 10^{-frac{t}{4}} = 25$

$10^{-frac{t}{4}} = frac{5}{9}$

$10^{frac{t}{4}} = frac{9}{5}$

$frac{t}{4} = log9 - log 5$

$t = 4 cdot (log 3 + log 3 - log5)$

$t = 4 cdot (0,48 +0,48 - 0,7) approx 1,04 h$

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