Questão 9

UNICAMP 2006

Matemática

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) Sejam dados: a matriz $A=egin{pmatrix} x-1 & x-1 &x-1 \ x-1 & 1 & 2\ x-1 & 1 & -2 end{pmatrix}$ , o vetor $b=egin{pmatrix} m\3 \ 5 end{pmatrix}$ e o vetor $y=egin{pmatrix} y_1\y_2 \ y_3 end{pmatrix}$

a) Encontre o conjunto solução da equação det(A) = 0 .
b) Utilizando o maior valor de x que você encontrou no item (a), determine o valor de m para que o sistema linear Ay = b tenha infinitas soluções.

Gabarito:

Resolução:

a) Temos que o determinante de A é dada por:

$egin{vmatrix} x-1 &x-1 &x-1 \ x-1 &1 &2 \ x-1 & 1 &-2 end{vmatrix} = 0$

$\ -4(x-1)+4(x-1)^{2} = 0 \ \ +4(x-1)(-1+x-1) = 0 \ \ x = 1 ou x = 2, portanto: \ \$

Temos a solução:

S = {1,2}

b) A maior raiz é 2, de modo que o sistema desejado tem a forma:

$left{egin{matrix} y_{1} & +y_{2} & +y_{3} & = & m \ y_{1}& +y_{2} & +2y_{3} & = & 3 \ y_{1}& +y_{2} & -2y_{3} & = & 5 end{matrix} ight.$

Para escalonar o sistema, multiplicamos a primeira linha por –1 e a somamos às demais linhas, temos:

$left{egin{matrix} y_{1} & +y_{2} & +y_{3} & = & m \ & & y_{3} & = & 3 - m \ & & -3y_{3} & = & 5-m end{matrix} ight.$

Para que esse sistema tenha solução, é preciso que as duas últimas equações sejam compatíveis, ou seja, y3 = 3 – m e –3y3 = 5 – m. Assim, temos −3(3 − m) = 5 − m , ou 4m = 14, ou ainda m = 7 / 2 . Neste caso, teremos um sistema com três incógnitas, mas apenas duas equações linearmente independentes, de modo que haverá infinitas soluções

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