Questão 8

UNICAMP 2006

Matemática

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de 2m de comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60º, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75º. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6m do nível da base da escarpa, responda às questões abaixo.

a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa?
b) Qual a altura da escarpa?

Gabarito:

Resolução:

a) Temos que:

$\ tg(15) = tg(45-30) = frac{tg45 -tg 30}{1+tg45. tg30} = 2 - sqrt{3}$

Temos o sistema:

$2 + h = frac{dsqrt{3}}{3} \ \ h = (2 - sqrt{3})d$

Realizando o sistema, temos:

$\ 2 =(frac{ sqrt{3}}{3} -2+sqrt{3})d ou d = 3 + 2sqrt{3}$

Como $h = (2-sqrt{3})d, temos:$

$\ h = (2-sqrt{3})(3+2sqrt{3}) = sqrt{3} \ \ 1,6 + sqrt{3} = 3,3 m$

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