Questão 6

UNICAMP 2006

Matemática

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) A concentração de CO₂ na atmosfera vem sendo medida, desde 1958, pelo Observatório de Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados mostram que, nos últimos anos, essa concentração aumentou, em média, 0,5% por ano. É razoável supor que essa taxa anual de crescimento da concentração de CO₂ irá se manter constante nos próximos anos.

a) Escreva uma função C(t) que represente a concentração de CO₂ na atmosfera em relação ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial — ou seja, aquele em que t = 0 — o ano de 2004, no qual foi observada uma concentração de 377,4 ppm de CO₂ na atmosfera.
b) Determine aproximadamente em que ano a concentração de CO₂ na atmosfera será 50% superior àquela observada em 2004. Se necessário, use $log_{10}2 cong 0.3010$ , $log_{10}2.01 cong 0.3032$ e $log_{10}3 cong 0.4771$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Temos que a taxa anual de crescimento da concentração de $CO_{2}$ é de 0,5%, portanto, a cada ao que passa, a concentração é multiplicada por 1,005, com isso a cada t anos, temos que a concetração é multiplicada por $1,005^{t}$ .

Temos que $C_{o} ightarrow$ Concentração inicial

Portanto:

$\ C(t) = C_{o} .(1,005)^{t} \ \ C_{o} = 377,4 ppm \ \ temos: \ \ C(t) = 377,4 . (1,005)^{t}$

b) Vamos supor que em t anos contados a partir de 2004, então a concentração será de 50%, portanto, temos:

$\ frac{3}{2}C_{o} = C_{o} . (1,005)^{t} \ \ frac{3}{2} = (1,005)^{t}$

Aplicando logaritmo, temos:

$log frac{3}{2} = tlog (1,005)$

$t = frac{[log3 - log 2]}{log(1,005)} \ \ frac{t = [log 3 - log 2 ]}{log frac{2,01}{2}} = frac{[log(3)-log(2)]}{log 2,01 - log (2)} \ \ t = frac{{0,4771 - 0,3010}}{0,3032-0,3010} = 80,05$

Portanto, a concentração de CO2 será 50% superior áquela observada em 2004 por volta de 2084

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