Questão 12

UNICAMP 2005

Matemática

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 12)

Para resolver equações do tipo 1 $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ , podemos proceder do seguinte modo: como $x=0$ não é uma raiz, divide-se a equação por $x^{2}$ e, após fazer a mudança de variáveis $u=x+frac{1}{x}$ , resolve-se a equação obtida [na variável u]. Observe que, se $x: : epsilon : : mathbb{R}$ e $x>0$ , então $u>2$ .

a) Ache as 4 raízes da equação $x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-3x^{1}+1=0$

b) Encontre os valores de b R para os quais a equação 3 $x^{4}-3x^{3}+bx^{2}-3x^{1}+1=0$ tem pelo menos uma raiz real positiva.

Gabarito:

Resolução:

$x^{4} -3x^{3} + 4.x^{2} -3x + 1 = 0$

$frac{x^{4}}{x^{2}} -frac{3x^{3}}{x^{2}} + frac{4.x^{2}}{x^{2}} -frac{3x}{x^{2}} + frac{1 }{x^{2}}= frac{0 }{x^{2}}$

$x^{2} -3x + 4 -frac{3}{x} + frac{1}{x^{2}} = 0$

$(x^{2} + frac{1}{x})-3(x+ frac{1}{x}) + 4 = 0$

Fazendo:

$x + frac{1}{x} = u$

Temos que:

$\ (x+frac{1}{x})^{2} = u^{2} \ \ x^{2} + 2 + frac{1}{x^{2} } = u^{2} \ \ x^{2} + frac{1}{x^{2}} = u^{2} - 2$

Substituindo em:

$(x^{2 } + frac{1}{x^{2}}) - 3(x+frac{1}{x}) + 4 = 0 , temos:$

$u^{2} -2-3u + 4 = 0 \ \ u^{2} -3u+2 = 0 \ \ u = 2 ou u =1$

Para u = 2, temos:

$\ x + frac{1}{x} = 2 \ \ x^{2} -2x+1 = 0 \ \ (x-1)^{2} = 0$

x = 1 ( raiz dupla)

Para u = 1, temos que:

$x + frac{1}{x} = 1$

$x^{2} -x +1 = 0 \ \ x = frac{1pm sqrt{3}i}{2}$

Portanto, as quatro raízes são:

$1;1;frac{1+sqrt{3}i}{2}, frac{1-sqrt{3}i}{2}$

$x^{4} -3x^{3} + 4.x^{2} -3x + 1 = 0$

$frac{x^{4}}{x^{2}} -frac{3x^{3}}{x^{2}} + frac{4.x^{2}}{x^{2}} -frac{3x}{x^{2}} + frac{1 }{x^{2}}= frac{0 }{x^{2}}$

$x^{2} -3x +b -frac{3}{x} +frac{bx^{2}}{x^{2}} -frac{3x}{x^{2}} + frac{1}{x^{2}} = 0$

$x^{2} -3x +b - frac{3}{x} + frac{1}{x^{2}} = 0$

$x^{2} + frac{1}{x^{2} } -3 (x+frac{1}{x}) + b = 0$

$(x+frac{1}{x})^{2} -3 (x+frac{1}{x}) +b -2 = 0$

Se x pertence aos reais, então x > 0, portanto:

$u = x + frac{1}{x} geq 2$

Para existir pelo menos uma raiz real positiva em x, é necessário e suficiente que a equação em u tenha uma raiz real maior ou igual a 2, como mostra o gráfico:

$f(u) =u^{2} -3u + b -2$

Portanto, temos que

$\ f(2) = 2^ {2} -3.2+b-2 leq 0 \ \ b leq 4$

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