Questão 8

UNICAMP 2005

Matemática

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 8)

A função $y=ax^{2}+bx+c$ , com $a eq 0$ , é chamada função quadrática.

a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0,2) , B(–1,1) e C(1,1).

b) Dados os pontos ( $A(x_{0},y_{0}): : B(x_{1},y_{1}): : C(x_{2},y_{2}): :$ , mostre que, se $x_{0}< x_{1}< x_{2}$ e se os pontos A, B e C não pertencem a uma mesma reta, então existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C.

Gabarito:

Resolução:

$A(0;2) , B (-1;1) , e C(1;1)$

São pontos da função quadrática:

$\ y = ax^{2} +bx +c \ \ a eq 0, portanto:$

$\ I) a.0^{2} + b(0) + c = 2 \ \ II) a. (-1)^{2} +b(-1) +c = 1 \ \ III) a. 1^{2} + b.1 + c = 1$

Com isso:

a = -1

b = 0

c = 2

A função quadrática é dada por:

$y = -x^{2} +2$

b) Se a função quadrática $y = ax^{2} + b x + c$ pasa pelos pontos:

$A(x_{0}, y_{0}) , B(x_{1} , y_{1} ) , e C(x_{2}, y_{2})$ , então:

$\ a. x_{0 } ^{2} + b. x_{0} + c = y_{0} \ \ ax_{1}^{2} + bx_{1} + c = y_{1} \ \ ax_{2} + bx_{2}^{2} + c = y_{2 }$

$D = egin{vmatrix} x_{0} & y_{0} & 1\ x_{1} & y_{1} &1 \ x_{2} & y_{2} & 1 end{vmatrix} eq 0$

Temos que o sistema acima nas incógnitas a, b e c é sempre possível e determinado, pois o determinante do sistema:

$D = egin{vmatrix} x_{0}^{2} & x_{0} & 1\ x_{1}^{2} & x_{1} &1 \ x_{2}^{2} & x_{2} & 1 end{vmatrix} =$

$=(x_{1} - x_{0} )(x_{2} -x_{1} ) . (x_{2} - x_{0}) eq 0$

Para:

$x_{0} < x_{1} < x_{2}$

Portanto, além disso, temos:

$a = frac{D_{a}}{D} eq 0$

Com isso, podemos concluir que existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C.

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