Questão 12

UNICAMP 2004

Matemática

(UNICAMP - 2004 - 2 fase - Questão 12)

O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6 cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.

a) Calcule o raio R da circunferência.

b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm.

Gabarito:

Resolução:

a) Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo BAD, temos:

$BD ^{2} = 1^{2} +6^{2} -2.1.6.cos(alpha)$

$\ BD^{2} = 3^{2} +4^{2} -2.3.4 . cos(180 - alpha) \ \ 37 - 12. cos alpha = 25+24, cos(alpha) \ \ alpha = frac{1}{3} \ \ sen alpha = sqrt{1- cos^{2}(alpha)} = sqrt{1-frac{1}{9}} = frac{2sqrt{2}}{3}$

Utilizando agora a lei dos senos no triângulo ABD, temos:

$\ frac{BD}{sen alpha} = 2R \ \ frac{sqrt{1^{2}+6^{2}-2.1.6.frac{1}{3}}}{frac{2sqrt{2}}{3}} = 2R \ \ R = frac{3sqrt{33}}{4sqrt{2}} \ \ R = frac{3sqrt{66}}{8}$

Sendo V o volume do cone reto, em centímetros cúbicos, cuja base é ocirculo de raio R e cuja altura mede 5 cm, tem -se:

$\ V = frac{1}{3} pi . (frac{3sqrt{66}}{8})^{2} . 5 \ \ V = frac{495 pi}{32}$

Questões relacionadas

Questão 1

(UNICAMP - 2004 - 1a fase) A cidade de Campinas tem 1 milhão de habitantes e estima-se que 4% de sua população viva em domicílios inadequados. Supondo-se que, em mé...

Ver questão

Questão 2

(UNICAMP - 2004 - 1a fase) Supondo que a área média ocupada por uma pessoa em um comício seja de 2.500 cm2 , pergunta-se: a) Quantas pessoas poderão se reunir em uma pra&...

Ver questão

Questão 1

(UNICAMP - 2004 - 2 fase - Questão 1) Em uma sala há uma lâmpada, uma televisão [TV] e um aparelho de ar condicionado [AC]. O consumo da lâmpada equivale a 2/3 do con...

Ver questão

Questão 2

(UNICAMP - 2004 - 2 fase - Questão 2) Sabe-se que o número natural D, quando dividido por 31, deixa resto r N e que o mesmo número D, quando dividido por 17, deixa resto 2r. a)...

Ver questão