Questão 11

UNICAMP 2004

Matemática

(UNICAMP - 2004 - 2 fase - Questão 11)

Dado o sistema linear homogêneo:

$egin{cases} & [cos(a)+sen(a)]x+[2sen(a)]y=0 \ & [cos(a)]x+[cos(a)-sen(a)]y=0 end{cases}$

a) Encontre os valores de para os quais esse sistema admite solução não-trivial, isto é, solução diferente da solução x = y = 0 .

b) Para o valor de a encontrado no item (a) que está no intervalo $[0,frac{pi}{2}]$ , encontre uma solução não-trivial do sistema.

Gabarito:

Resolução:

$egin{vmatrix} cos alpha + sen alpha&2sen alpha \ cos alpha & cos alpha - sen alpha end{vmatrix} = 0$

$cos (2alpha) - sen (2alpha) = 0 \ \ tg (2alpha) = 1 \ \ 2alpha = frac{pi}{4} + n pi \ \ alpha = frac{pi}{8} + frac{n pi}{2}$

b ) Para α = π/8, uma solução diferente da trivial pode ser obtida fazendo-se y = 1 na equação:

$x = frac{se alpha - cos alpha}{cos alpha } . y$

Portanto, temos:

$x = frac{sen frac{pi}{8} - cosfrac{pi}{8}}{cos frac{pi}{8} } . 1 = tg (frac{pi}{8}) - 1$

Temos que:

$tg (frac{pi}{8}) = sqrt{2}-1$

Então uma solução do sistema é:

$(sqrt{2} -2, 1)$

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