Questão 5

UNICAMP 2004

Matemática

(UNICAMP - 2004 - 2 fase - Questão 5)

Entre todos os triângulos cujos lados têm como medidas números inteiros e perímetro igual a 24 cm, apenas um deles é eqüilátero e apenas um deles é retângulo. Sabe-se que um dos catetos do triângulo retângulo mede 8 cm.

a) Calcule a área do triângulo eqüilátero.

b) Encontre o raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo

Gabarito:

Resolução:

Temos que o perímetro de um único triângullo equilátero é 24 cm, portanto:

$\ 3l = 24 \ \ l = 8 cm$

Então a área será:

$\ S = frac{l^{2}sqrt{3}}{4} = 16sqrt{3}$

b) Considerando R como a medida, em centímetros, do raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo de perímetro igual a 24 centímetros, onde um dos catetos mede 8 centímetros e o outro naturalmente mede 16 – 2R centímetros, o Teorema de Pitágoras pode ser aplicado para obter:

$\ (2R)^{2} = 8^{2} + (16-2R)^{2} \ \ 4R^{2} = 64 + 256 -64R + 4R^{2} \ \ 64R = 320 \ \ R = 5$

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