Questão 49480

UNICAMP 2003

Matemática

(UNICAMP - 2003 - 2 fase - Questão 12)

Considere a função quadrática $f(x)=x^{2}+xcos: alpha +sen: alpha$ .

a) Resolva a equação $f(x)=0$ para $alpha =frac{3p}{2}$

b) Encontre os valores de $alpha$ para os quais o número complexo $frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i$ é raiz da equação $f(x)+1=0$

Gabarito:

Resolução:

$alpha = frac{3pi}{2} \ \ f(x) = x^{2} + x . cos frac{3pi}{2} + sen frac{3pi}{2} = 0$

$\ x^{2} - 1 = 0 \ \ x^{2} = 1 \ \ x = pm 1 \ \ V(-1;1)$

Se $frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i$ é raiz da função f(x) + 1 = 0, e os coeficientes são reais, então,

$frac{1}{2} - frac{sqrt{3}}{2}i$ também é raiz.

Vamos aplicar a relações e Girard na equação do 2º grau, temos:

$\ (frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i ) + (frac{1}{2} -frac{sqrt{3}}{2}i) = - cos(alpha) \ \ (frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i ) (frac{1}{2} -frac{sqrt{3}}{2}i) = sen (alpha) +1 \$

$\ cos(alpha) = -1 \ \ sen (alpha) +1 = 1 \ \ cos (alpha) = -1 \ \ sen alpha = 0$

$alpha = pi + n. 2pi$ sendo que n pertence aos inteiros.

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