Questão 49479

UNICAMP 2003

Matemática

(UNICAMP - 2003 - 2 fase - Questão 11)

Seja a um número real e seja:

$p(x)=detegin{matrix} 3-x& -1&sqrt{2} \ 0 & a-x& -1\ 0 &4 & 1-x end{matrix}$

a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.

b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tem uma única raiz real.

Gabarito:

Resolução:

$\ a = 1 \ \ p(x) = egin{vmatrix} 3-x & -1 & sqrt{2}\ 0 & 1-x & -1\ 0 & 4 & 1-x end{vmatrix} = 0$

$\ (3-x)[(1-x)^{2} +4] = 0 \ \ 3-x = 0 ou (1-x)^{2} = -4 \ \ x = 3 ou 1-x = pm 2i \ \ x =3 ou x=1 -2i ou x=1 +2 i \ \ V (3;1-2i;1+2i)$

$p(x) = egin{vmatrix} 3-x & -1 &sqrt{2} \ 0 & a-x & -1 \ 0 & 4 &1-x end{vmatrix} = 0$

$(3-x)[(a-x)(1-x)+4]= 0 \ \ (3-x)[x^{2}-(a+1)x + (a+4)] = 0 \ \$

Veja que essa equação tem uma raiz real: x = 3 quando a equação:

$x^{2}-(a+1)x + (a+4)] = 0$ não admite raízes reais, então:

$Delta = a^{2} + 2a+1-4a-16 < 0$

$\ a^{2} -2a-15<0 \ \ -3 < a < 5$

Se substituirmos o a =5 na equação temos:

$\ (3-x )[x^{2}-(5+1)x + (5+4)] = 0 \ \ (3-x)(x^{2} -6x +9) = 0 \ \ (3-x)^{3} = 0 \ \ x = 3$

Portanto, temos:

$-3 < aleq 5$

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