Questão 10

UNICAMP 2001

Matemática

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE) Considere a equação trigonométrica $sen^{2}Theta - 2cos^{2}Theta +frac{1}{2}sen(2Theta )=0$

a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de $Theta$ para os quais $cosTheta=0$

b) Encontre todos os valores de $cosTheta$ que são soluções da equação.

Gabarito:

Resolução:

$\ sen^{2} heta -2. cos^{2} heta + frac{1}{2}. sen(2 heta) = 0 \ \ 1 - cos^{2}( heta) -2cos^{2}( heta) + frac{1}{2}. 2 sen heta . cos heta = 0$

$1 -3 . cos^{2} heta + sen heta . cos heta = 0$

Os valores de θ, para os quais cos θ = 0, não são soluções da equação dada, pois, neste caso a sentença resultante é 1 – 0 + 0 = 0, que é falsa.

$\ sen^{2} heta - 2. cos^{2} heta + frac{1}{2} . sen 2 heta = 0 \ \ sen^{2} heta - 2 , cos^{2} heta + sen heta . cos heta = 0$

Dividindo - se a equação por:

$cos heta eq 0$

$\ tg^{2} heta -2 + tg heta = 0 \ \ tg heta = 1 ou tg heta = -2$

Sendo: $sec^{2} heta = 1 +tg^{2} heta, temos$

$sec^{2} heta = 1 +1^{2} = 2 ou sec^{2} heta = 1 + (-2)^{2} = 5 \ \$

Então:

$\ cos^{2} heta = frac{1}{2} \ \ cos heta = pm frac{sqrt{2}}{2} \ \ cos^{2} heta = frac{1}{5} \ \ cos ( heta ) = pm frac{sqrt{5}}{5}$

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