Questão 5

UNICAMP 2001

Matemática

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE) Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio r = 2cm e cada uma delas com centro em um vértice de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6cm. Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as três circunferências.

a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências.

b) Calcule o comprimento da curva C.

Gabarito:

Resolução:

a) Vamos chamar A a área da região plana interna ao triângulo e externa aos três círculos, então:

$\ A = frac{6^{2} . sqrt{3}}{4} - 3. frac{60}{360} . pi . 2^{2} \ \ A = 9 sqrt{3}-2pi$

b) O comprimento mínio (L) da curva C fechada C tangencia externamente as três circunferências, temos:

$\ L = 3 (6+ frac{120}{360}. 2pi .2) \ \ L = 3(6 + frac{4pi}{3}) \ \ L = 18 + 4pi$

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