(UNESP - 2019 - 2 fase - Questão 24)
Bianca está preparando saquinhos com balas e pirulitos para os convidados da festa de aniversário de sua filha. Cada saquinho irá conter 5 balas e 3 pirulitos, ou 3 balas e 4 pirulitos, já que ambas as combinações resultam no mesmo preço. Para fazer os saquinhos, ela dispõe de 7 sabores diferentes de balas (limão, menta, morango, framboesa, caramelo, canela e tutti-frutti) e 5 sabores diferentes de pirulito (chocolate, morango, uva, cereja e framboesa). Cada bala custou 25 centavos e cada pirulito custou x centavos, independentemente dos sabores.
a) Quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca pode fazer se ela não quer que haja balas de um mesmo sabor nem pirulitos de um mesmo sabor em cada saquinho? Qual o preço de cada pirulito?
b) Quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca pode fazer se ela não quer que haja sabores repetidos em cada
Gabarito:
Resolução:
a) Saquinho 1 : 5 balas e 3 pirulitos
Das 5 balas, 7 sabores são possíveis ao escolher a 1ª bala, 6 sabores para a 2º bala e assim por diante. Logo, temos
7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2520 possibilidades para as 5 balas.
Como há 3 pirulitos com 5 sabores possíveis, então há 5 x 4 x 3 = 60 possibilidades par aos 3 pirulitos. Logo, este saquinho pode ser formado por 2520 x 60 maneiras.
Saquinho 1 : 151200 maneiras
Saquinho 2: 3 balas e 4 pirulitos
Repetindo o raciocínio anterior, para as 3 balas teremos 7 x 6 x 5 = 210 possibilidades e para 4 pirulitos teremos 5 x 4 x 3 x 2 = 120 possibilidades.
Daí, teremos:
Saquinho 2 : 210 x 120 = 25200 possibilidades
Somando-se as possibilidades temos 176.400 possibilidades.
Como o preço da bala é R$ 0,25 e o do pirulito x, e preço dos saquinhos são iguais, temos que
P1 = 5.0,25 + 3x
P2 = 3 . 0,25 + 4x
P1 = P2
5.0,25 + 3x = 3 . 0,25 + 4x
x = R$ 0,50
b) Entre pirulito e bala, somente os sabores morango e framboesa são possíveis. Como não desejamos sabores repetidos temos:
Saquinho 1:
1ª) Balas com morango framboesa :
7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2520 possibilidades
Pirulitos sem morango e framboesa
3 x 2 x 1 = 6 possibilidades
Para este formato temos 2520 x 6 = 15.160 possiilidades
2ª) Bala com morango ou framboesa
6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720
Pirulito com morango ou framboesa
4 x 3 x 2 = 24
Logo : 720 x 24= 17280 tipos
3ª) Bala sem morango e sem framboesa
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Pirulito com morango e framboesa
5 x 4 x 3 = 60
Logo serão 120 x 60 = 7200 possibilidades
Somando todas possibilidades temos 39 640 tipos de saquinhos 1
Saquinho 2 : Repetindo o processo anterior
1ª ) Balas : 7 x 6 x 5 = 210
Pirulitos = 3 x 2 x 1 x 0 -> IMPOSSÍVEL
Com 4 pirulitos no saco, temos pelo menos 4 sabores possíveis.
2ª) Balas : 6 x 5 x 4 = 120
Pirulitos : 4 x 3 x 2 x 1 = 24
120 x 24 = 2880 possibilidades
3ª)Balas = 5 x 4 x 3 = 60
Pirulitos : 5 x 4 x 3 x 2 = 120
60 x 120 = 7200 possibilidades
Saquinho 2 : 2880 + 7200 = 10.080 tipos diferentes sem repetição de sabores.
Somando as possibilidades para os dois saquinhos, tem-se 49720 tipos diferentes de sacos sem sabores repetidos.