Questão 22

UNESP 2019

Matemática

(UNESP - 2019 - 2 fase - Questão 22)

Na figura, as retas AB e CD são paralelas, assim como as retas AD e BC. A distância entre $overleftrightarrow {AB}::e::overleftrightarrow {CD}$ é 3 cm, mesma distância entre $overleftrightarrow {AD}::e::overleftrightarrow {BC}$ .

a) Calcule o perímetro do paralelogramo ABCD, formado pelas intersecções das retas, na situação em que α = 60º

b) Considere que S seja a área do paralelogramo ABCD representado na figura. Determine S em função de α e determine a área mínima do paralelogramo ABCD.

Gabarito:

Resolução:

Por semelhança temos que $Bwidehat{C}D=60$ . Logo,

$sin 60 =frac{3cm}{overline{BC}}$

$overline{BC}=frac{3cm}{sin 60}$

$overline{BC}=frac{3cm}{frac{sqrt{3}}{2}}$

$overline{BC}=2sqrt{3}$ cm

O mesmo raciocínio é aplicado ao triângulo ABE :

$Awidehat{B}E=60$

$sin 60 =frac{3cm}{overline{AB}}$

$overline{AB}=2sqrt{3}$ cm

Por simetria

$\\\overline{DC}=overline{AB}::e::overline{AD}=overline{BC}\\Logo,::o:::perimetro:::2p:::vale\\2p=4cdot 2cdot sqrt{3}=8sqrt{3}cm$

S = base x altura

$S=overline{DC}cdot 3cm\\Porem::overline{AB}=overline{DC}\\overline{AB}=frac{3}{sinalpha }\\S=frac{3}{sinalpha }cdot 3=frac{9}{sinalpha }$

Para que a área S seja mínima, devemos ter o maior valor possíve de $sinalpha$ . Logo $alpha =90 ightarrow sinalpha =1$ .

$S_{minima} = 9cm^2$

Questões relacionadas

Questão 84

(UNESP - 2019 - 1 FASE ) Amilcar de Castro (1920-2002) foi um importante artista brasileiro que se destacou por suas esculturas em ferro. A fotografia mostra uma de suas esculturas, feita a partir de...

Ver questão

Questão 86

(UNESP - 2019 - 1 FASE ) Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as seguintes coordenadas geográficas: Considerando a Terra uma esfera de raio 6300 km, a medida do...

Ver questão

Questão 87

(UNESP - 2019 - 1 FASE ) Em relação a um sistema cartesiano de eixos ortogonais com origem em O(0, 0), um avião se desloca, em linha reta, de O até o ponto P, mantend...

Ver questão

Questão 88

(UNESP - 2019 - 1 FASE ) Dois números reais de 0 a 4, e que podem ser iguais, serão sorteados ao acaso. Denotando-se esses números por x e y, a probabilidade de que eles sejam tai...

Ver questão