Questão 23

UNESP 2017

Matemática

(UNESP - 2017 - 2ª fase)

Uma lancha e um navio percorrem rotas lineares no mar plano com velocidades constantes de 80 e 30 km/h, respectivamente. Suas rotas, como mostra a figura, estão definidas por ângulos constantes de medidas iguais a $alpha$ e $eta$ respectivamente. Quando a lancha está no ponto L e o navio no ponto N, a distância entre eles é de 10 km.

Sendo P o ponto em que a lancha colidirá com o navio, demonstre que o ângulo obtuso $mathrm{Lwidehat{P}N}$ será igual a $alpha + eta$ . Em seguida, calcule a distância entre N e P, considerando $cos (alpha + eta) = - frac{9}{16}$ .

Gabarito:

Resolução:

Traçando 3 retas paralelas nessa figura, no ponto N, P e L, temos:

Temos que o ângulo b é alterno interno de $eta$ . Da mesma forma o ângulo a é alterno interno de $alpha$ . Assim:

$b = eta; a = alpha$

$mathrm{Lwidehat{P}N} = alpha + eta$ .

Agora para descobrir a medida de NP, devemos primeiramente descobrir quando tempo ambos levam, partindo de seus respectivos pontos para colidirem. Considere esse tempo como t.

Utilizando a lei dos cossenos:

$a^{2} = b^{2}+c^{2}-2 bc .cosA$

$10^{2} = left(LP ight )^{2}+ left(NP ight )^{2} - 2left(LP.NP ight ).cosleft(alpha+eta ight )$

Temos que as distancias LP e NP são dadas pela velocidade de cada veículo multiplicada pelo tempo t.

$LP = 80.t$

$NP = 30t$

$100 = 6400t^{2} + 3600t^{2} - 4800t^{2}left( -frac{9}{16} ight )$

$100 = 6400t^{2} + 900t^{2} + 2700t^{2}$

$t^{2} = frac{100}{10000}$

$t = frac{1}{10}$

Dessa forma:

$NP = 30.t$

$NP = 30.frac{1}{10}$

$NP = 3Km$

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