Questão 23

UNESP 2017

Matemática

(UNESP - 2017/2 - 2ª fase)

A figura representa, em vista superior, a casinha de um cachorro (retângulo BIDU) e a área externa de lazer do cachorro, cercada com 35 metros de tela vermelha totalmente esticada.

Calcule a área externa de lazer do cachorro quando x = 6 m. Determine, algebricamente, as medidas de x e y que maximizam essa área, mantidos os ângulos retos indicados na figura e as dimensões da casinha.

Gabarito:

Resolução:

Temos que o perímetro de cerca é 35m, então:

$left(x-1 ight )+y+x+left(y-2 ight ) = 35$

$2x + 2y - 38 = 0$

$y = frac{38-2x}{2}$

$y = 19 -x$

Se x vale 6 então:

$y = 13$ .

Agora, a área dessa figura é dada por:

$A = x . y - 1.2$

$A = left(19-x ight).x - 2$

$A = -x^{2}+19x-2$

Temos uma equação do segundo grau. Essa área vai ser máxima no vértice dessa parábola, quando a função atinge seu valor máximo. Como queremos o valor de x, vamos usar a fórmula do x do vértice.

$xv = -frac{b}{2a}$

$xv = -frac{19}{-2}$

$xv = 9,5$

Como x vai valer 9,5:

$y = 19 - 9,5 = 9,5$

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