Questão 36161

UNESP 2017

Matemática

(UNESP - 2017 - 2ª FASE)

Um cone circular reto de geratriz medindo 12 cm e raio da base medindo 4 cm foi seccionado por um plano paralelo à sua base, gerando um tronco de cone, como mostra a figura 1. A figura 2 mostra a planificação da superfície lateral S desse tronco de cone, obtido após a secção.

Calcule a área e o perímetro da superfície S. Calcule o volume do tronco de cone indicado na figura 1.

Gabarito:

Resolução:

Calculando o perímetro e a área da superfície S:

O arco AD pode ser calculado assim:

$frac{120}{360} = frac{AD}{2pi R}$

$AD = frac{120.2pi R}{360}$

$R$ vale 12 cm. Dessa forma:

$AD = 8pi$

O arco BC pode ser calculado da mesma forma.

$BC = frac{120.2pi r}{360}$

$r$ vale 6cm. Dessa forma:

$BC = 4pi$

Então o perímetro dessa superfície é:

$P = 8pi + 4pi + 6 + 6$

$P = 12left(pi + 1 ight )cm$

A área pode ser dada por:

$A = frac{120}{360}. left(pi R^{2} - pi r^{2} ight )$

$A = frac{120}{360}. pileft( R^{2}-r^{2} ight )$

$A = frac{120}{360}. pileft(108 ight )$

$A = 36pi cm^{2}$

Calculando o volume do tronco de cone agora:

Temos que VR é a geratriz do cone, e vale 12. OR é o raio da base, e vale 4. Dessa forma, temos:

$4^{2}+H ^{2} = 12^{2}$

$H = sqrt{128}$

$H = 8sqrt{2}$

Temos que os triângulos VOR e VPQ são semelhantes, então:

$frac{VP}{8sqrt{2}} = frac{6}{12}$

$VP = 4sqrt{2}$

$frac{PQ}{4} = frac{6}{12}$

$PQ = 2$

Dessa forma descobrimos que a altura do cone superior é $4sqrt{2}$ cm e o raio da base desse cone = 2 cm.

O volume do tronco será dado pelo volume total do cone subtraido pelo volume do cone superior.

$V _{t} = frac{1}{3}pi 4^{2}. 8sqrt{2} - frac{1}{3}pi 2^{2}.4sqrt{2}$

$V _{t} = frac{1}{3}pileft(112sqrt{2} ight )$

$V _{t} = frac{112pisqrt{2}}{3}cm^{3}$

Questões relacionadas

Questão 90

(UNESP - 2017 - 1ª FASE) Em um jogo de tabuleiro, o jogador desloca seu peão nas casas por meio dos pontos obtidos no lançamento de um par de dados convencionais e n&atild...

Ver questão

Questão 87

(UNESP - 2017 - 1ª FASE) A figura indica o empilhamento de três cadeiras idênticas e perfeitamente encaixadas umas nas outras, sendo h a altura da pilha em relação ao ch...

Ver questão

Questão 84

(UNESP - 2017/2 - 1ª fase) Uma confeitaria vendeu seus dois últimos bolos por R$ 32,00 cada. Ela teve lucro de 28% com a venda de um dos bolos, e prejuízo de 20% com a v...

Ver questão

Questão 85

(UNESP - 2017/2 - 1ª fase) Os polígonos SOL e LUA são triângulos retângulos isósceles congruentes. Os triângulos retângulos brancos no inter...

Ver questão