Questão 6523

UNESP 2010

Matemática

(UNESP - 2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes.

Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é:

Dado: 1,01³⁶¹ ≈ 36

290,00.

286,00.

282,00.

278,00.

274,00.

Gabarito:

286,00.

Resolução:

Vamos supor que a quantia mensal a ser depositada seja $x$ . No primeiro mês, será investido $x$ na aplicação financeira e, findando o primeiro mês, o valor será acrescido em 1% e será investido novamente $x$ , e assim sucessivamente. Dessa forma, seja $a_{n}$ o valor total acumulado no início do $n$ -ésimo mês:

$a_{1} = x$

$a_{2} = 1,01*a_{1} + x ightarrow a_{2} = 1,01*x + x$

$a_{3} = 1,01*a_{2} + x ightarrow a_{3} = 1,01*(1,01*x + x)+x ightarrow$

$ightarrow a_{3} = 1,01^{2}*x + 1,01*x + x$

Seguindo esse raciocínio, percebe-se que o valor acumulado em determinado mês $n$ (no início do mês) será $a_{n}=1,01^{n-1}*x+1,01^{n-2}*x+cdots 1,01^{2}*x+1,01*x+x$ ,

ou seja, $a_{n} = sum_{i=0}^{n-1}1,01^{i}*x$ , ou ainda $a_{n} = x*sum_{i=0}^{n-1}1,01^{i}$ (pois o termo $x$ no somatório não depende do índice $i$ , podendo então ficar em evidência na expressão).

Observe que a expressão de $a_{n}$ é um somatório de uma progressão geométrica de n termos. Como a aplicação é feita durante 30 anos, temos $n=12*30 ightarrow n=360$ .

Do enunciado, o valor final do montante M deve ser de um milhão de reais, então, como queremos o valor do montante AO FINAL de 30 anos, teremos mais um juros de 0,01 sobre a₃₆₀, ou seja: $M= a_{360}cdot1,01=1000000 ightarrow M = a_{360}cdot1,01 = 10^{6}$ .

Logo, usando a fórmula de soma de PG's $S=frac{a_{1}*(q^{n}-1)}{q-1}$ , temos:

$a_{360}cdot1,01=S ightarrow 10^{6}={frac{xcdot(1,01^{360}-1)}{1,01-1}}cdot1,01 = {frac{xcdot(1,01^{361}-1,01)}{1,01-1}}$ mas, do enunciado: $1,01^{361}=36$ então:

$10^{6}cdot(1,01-1)=(36-1,01)cdot x ightarrow 10^{4} = 34,99cdot x\ ightarrow x={frac{10^{4}}{34,99}} ightarrow xapprox 286$

Dessa forma, o valor a ser depositado mensalmente é R$286,00, conforme a alternativa (b).

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