Questão 2

UFU 2022

Matemática

(UFU - 2022)

Gabarito:

Resolução:

A) Note que o custo de perfuração de um metro é o valor do custo do metro anterior perfurado, adicionado de R$ 300,00. Portanto:

O custo total é a soma de todos os custos os quais são termos de uma progressão aritmética (PA) cujo termo geral é:

$a_{n}= a_{1}+(n-1)r$

Assim,

$a_{p}= 1000+(p-1)300=700 + 300p$

A fórmula da soma dos termos de uma PA:

$S_{n}= frac{(a_{1}+a_{n})cdot n}{2}$

Como o custo total é R$ 77.000,00, obtemos:

$77000= frac{1000+700+300p)cdot p}{2}$

Logo,

$154000= (1700+300p) cdot p$

e, assim,

$3p^{2}+17p-1540=0$

Utilizando a Fórmula de Bhaskara:

$p= frac{-17 pm sqrt{17^{2}-4cdot 3 cdot (-1540)}}{2 cdot 3} = frac{-17 pm 137}{6}$

Ou seja,

$p= -77$ ou $p=20$ .

Portanto $p=20$ metros, pois p > 0.

B) Observe que 248.000 litros corresponde a 248 m³ . A fórmula do volume do reservatório é:

$V= A_{B} cdot H,$

em que A_B e H são a área da base e altura do reservatório, respectivamente. Como $A_{B}= pi r^{2}$ , então

$248 = 3,1 cdot r^{2} cdot 20$ .

Portanto,

$pm 2= r$ .

A raiz negativa não convém, ou seja, o raio mede 2 metros.

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