Questão 65
UFU 2022
(UFU - 2022)
Sejam n e m números naturais com e
.
Se i é a unidade imaginária dos números complexos,, então a quantidade de distintos pares ordenados (n, m) tais que i
é igual a
25
78
17
60
Gabarito:
60
Resolução:
Temos que:
Analisando as possíveis potências de i, temos:
Sendo assim, se repete a cada 4 termos.
Analisando a equação que temos, podemos afirmar então que:
Então os possíveis valores de m e n serão 3,7,11,15....
Se observarmos, podemos afirmar que serão os valores anteriores a um múltiplo de 4, com isso podemos analisar o valor máximo para n e m.
No intervalo de 1 até 50, o maior múltiplo de 4 é 48, sendo assim, o maior valor de n será 47.
No intervalo de 80 até 100, o maior múltiplo de 4 é 100, então o maior valor de m será 99, e o primeiro valor será 83.
Com isso, podemos organizar os primeiros e últimos termos em uma PA, para descobrir quantos termos temos em cada intervalo.
Multiplicando m por n para encontrarmos a quantidade de pares, temos:
Letra D