Questão 38

UFU 2018

Matemática

(UFU - 2018 - 1^a FASE)

O polinômio $p(x)$ , na variável real x , é obtido por meio da multiplicação sucessiva de termos de tipo $(x-i)^{i}$ para $i=1,2,...,k.$ Desse modo, $p(x)=(x-1)(x-2)^{2}...(x-k)^{k}$ ,sendo k m número natural constante.

Se o grau de $p(x)$ é igual a 210, logo k é um número

primo.

divisível por 5.

múltiplo de 7.

ímpar.

Gabarito:

divisível por 5.

Resolução:

O grau do polinômio p(x) é dado pela soma dos expoentes i de (x-i)ⁱ:

Podemos notar que os expoentes estão em PA:

Razão: 1
a1 = 1
Soma da PA: 210

Portanto:

$S_{n} = frac{(a_{1}+a_{n}).n}{2}$

$210 = frac{[a_{1}+a_{1}+(n-1).r].n}{2}$

$420 = [a_{1}+a_{1}+(n-1).r].n$

$420 = [1+1+(n-1).1].n$

$420 = [2 + n-1].n$

$420 = (1 + n).n$

$420 = n + n^{2}$

$n^{2} + n - 420 = 0$

Realizando a equação do segundo grau, temos as raízes:

n = -21 e n = 20

Como não convém a raiz negativa, portanto temos n = 20, o que podemos perceber que é um número divisível por 5.

Gabarito B

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