Questão 6098
UFRGS 2011
(UFRGS - 2011) Traçando os gráficos das funções f e g definidas por e
, com x variando no conjunto dos números reais de -2
a 2
, no mesmo sistema de coordenadas, o número de interseções é
7.
8.
9.
10.
12.
Gabarito:
8.
Resolução:
Podemos resolver de duas formas:
1) DESENHANDO OS GRÁFICOS DE |SEN(X)| E |COS(X)|:
Os pontos amarelos são as intersecções de f(x) e de g(x) no intervalo [-2π; 2π]
2) RESOLVENDO A EQUAÇÃO |SEN(X)| = |COS(X)|:
Elevando ambos os membros ao quadrado teremos:
sen²x = cos²x
Mas da relação fundamental da trigonometria, temos que sen²x = 1 - cos²x. Se substituirmos sen²x na primeira equação teremos:
1 - cos²x = cos²x
1 = 2 cos²x
cos²x = 1/2
cosx = ± 1/√2
Para cosx = 1/√2:
x = ± π/4 + 2kπ; k é inteiro.
No intervalo [-2π; 2π] k poderá ser somente 0, -1 ou 1. Então, temos que x = π/4 ou x = -π/4 ou x = 7π/4 ou x = -7π/4.
Para cosx = -1/√2:
x = ± 3π/4 + 2kπ; k é inteiro.
No intervalo [-2π; 2π] k poderá ser somente 0, -1 ou 1. Então, temos que x = 3π/4 ou x = -3π/4 ou x = 5π/4 ou x = -5π/4.
Então para |SEN(X)| = |COS(X)| teremos valores possíveis para x, logo temos 8 intersecções entre f(x) e g(x).