Questão 5
UFPR 2019
(UFPR - 2019 - 2ª FASE) Sendo 𝒙, 𝒚 e 𝒛 números reais, considere as matrizes
e
a) Supondo que 𝒙 = 𝟏, 𝒚 = 𝟏 e 𝒛 = −𝟐, calcule o produto de matrizes 𝑨 ⋅ 𝑩.
b) Para quais valores de 𝒙, 𝒚 e 𝒛 a matriz 𝑩 é a inversa da matriz 𝑨?
Gabarito:
Resolução:
a)
b)
Observando o resultado da questão anterior vemos que a matriz resultante é quase a matriz identidade. Portanto B foi quase matriz inversa de A.
Precisamos que o resultado do elemento posição linha 3 coluna 3, 7, seja igual à 1. Portanto iremos montar um sistema e igualar à 1.
3x+4=1
3x=-3
x=-1
O elemento da linha 4, coluna 3: -1, deverá ser igual à 0 para termos a matriz identidade. Logo o sistema obtido da multiplicação de A.B será:
3y+2z=0 (I)
O elemento linha 4, coluna 4: 0 deverá ser igual à 1. Teremos o sistema:
2y+z=1 (II)
Resolvendo os sistemas I e II:
y=2
Substituindo y em 3y+2z=0, teremos z=-3
Portanto encontramos os valores de x,y e z.