Questão 35

UFPR 2018

Matemática

(UFPR - 2018 - 1ª FASE)

Em quantos pontos do plano cartesiano a circunferência de equação (𝒙 − 𝟐)^𝟐 + (𝒚 + 𝟏)^𝟐 = 𝟗 e a parábola de equação 𝒚 = −𝟐𝒙^𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟔 se intersectam?

Gabarito:

Resolução:

Vamos substituir o valor de $y=-2x^2+8x-6$ na equação $(x-2)^2+(y+1)^2=9$ .

$(x-2)^2+(-2x^2+8x-6+1)^2=9$

$(x-2)^2+(-2x^2+8x-5)^2=9$

$x^2-4x+4+4x^4+64x^2+25-32x^3+20x^2-80x=9$

$4x^4-32x^3+85x^2-84x+20=0$

Notamos que 2 é raiz do polinômio. Vamos manipular a equação da seguinte forma:

$4x^4-8x^3-24x^3+48x^2+37x^2-74x-10x+20=0$

$4x^3(x-2)-24x^2(x-2)+37x(x-2)-10(x-2)=0$

$(x-2)(4x^3-24x^2+37x-10)=0$

Novamente, 2 é raiz da equação.

$(x-2)(4x^3-8x^2-16x^2+32x+5x-10)=0$

$(x-2)[4x^2(x-2)-16x(x-2)+5(x-2)]=0$

$(x-2)^2[4x^2-16x+5]=0$

Analisando apenas $4x^2-16x+5=0$ :

$Delta = 16^2-4cdot 4cdot 5=176 > 0$ ⇒ duas raízes

Logo, concluímos que o polinômio tem 3 raízes no total.

Alternativa correta é Letra D.

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