Questão 4

UFPR 2018

Matemática

(UFPR - 2018 - 2ª FASE) Considere o número complexo $mathbb{Z}=frac{1}{2}(sqrt{3}+i)$ .

a) Calcule o módulo de $mathbb{Z}$ e escreva a forma polar de $mathbb{Z}$ .

b) Calcule o valor da expressão $mathbb{Z}^{27}+mathbb{Z}^{24}+1$ . (Sugestão: use a fórmula de De Moivre)

Gabarito:

Resolução:

$z=frac{1}{2}(sqrt{3}+i)$

$left | z ight |=sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$left | z ight |=sqrt{frac{sqrt{3}}{2}^{2}+frac{1}{2}^{2}}$

$left | z ight |=sqrt{frac{3}{4}+frac{1}{4}}$

$left | z ight |=sqrt{1}=1$

$z=left | z ight |.(cos heta +isen heta )$

$senTheta =frac{frac{1}{2}}{1}=frac{1}{2}$

$Theta =frac{pi }{6}$

$Z^{n}=left | Z ight |^{n}(cos(nTheta)+isen(nTheta))$

$Z^{27}=left | 1 ight |^{27}(cos(frac{27pi }{6})+isen(frac{27pi }{6})$

$frac{27pi }{6}=frac{9pi }{2}=4pi+frac{pi }{2}$

$senfrac{27pi }{6}=1$ e $cosfrac{27pi }{6}=0$

$Z^{27}=1(0+i1)=i$

$senfrac{24pi }{6}=0$ e $cosfrac{24pi }{6}=1$

$Z^{24}=1(1+i0)=1$

$Z^{27}+Z^{24}+1=2+i$

Questões relacionadas

Questão 1

(UFPR - 2018 - 2ª FASE) Numa pesquisa de opinião, eleitores foram perguntados se recordavam em quais candidatos a deputado (federal e estadual) haviam votado nas últimas elei&c...

Ver questão

Questão 2

(UFPR - 2018 - 2ª FASE) A distância que um automóvel percorre a partir do momento em que um condutor pisa no freio até a parada total do veículo é chamada d...

Ver questão

Questão 3

(UFPR - 2018 - 2ª FASE) Numa loja de automóveis usados, a comissão paga a cada um dos vendedores consiste num percentual sobre o total de vendas do vendedor mais um bônus...

Ver questão

Questão 5

(UFPR - 2018 - 2ª FASE) Considere o círculo de centro C e raio 4 cm e o triângulo ABD representados na figura abaixo. Sabendo que o ângulo α mede 120° e que o...

Ver questão