Questão 33

UFPR 2018

Matemática

(UFPR - 2018 - 1ª FASE)

Considere a seguinte sequência de funções polinomiais do segundo grau:

$p_{1}left ( x ight )=2x^{2}+frac{x}{3}-3$ , $p_{2}left ( x ight )=2x^{2}+frac{x}{9}-9$ , $p_{3}left ( x ight )=2x^{2}+frac{x}{27}-27$ , ..., $p_{n}left ( x ight )=2x^{2}+frac{x}{3^{n}}-3^{n}$ ,...

Denotando por $S_{1}$ a soma das raízes de $p_{1}left ( x ight )$ , $S_{2}$ a soma das raízes de $p_{2}left ( x ight )$ e assim por diante, pode-se concluir que a soma infinita

$S = S_{1} + S_{2}+S_{3}+S_{4}+...$

é igual a:

-1/2.

-1/4.

-1/8.

1/4.

1/2.

Gabarito:

-1/4.

Resolução:

Pelas Relações de Girard, a soma das raízes de um polinômio é dada por $-frac{b}{a}$ . Logo:

• Para $p_1$ : $S_1 = -frac{1}{3cdot 2}=-frac{1}{6}$

• Para $p_2$ : $S_2 = -frac{1}{3^2cdot 2}$

...

• Para $p_n$ : $S_n = -frac{1}{3^ncdot 2}$

Assim, a soma das raízes de todos os polinômios é a soma de uma PG infinita, de razão $frac{1}{3}$ e termo inicial $-frac{1}{6}$ :

$S_1+S_2+...+S_n = -frac{1}{6}-frac{1}{18}-...-frac{1}{3^n cdot 2}$

$S_1+S_2+...+S_n = frac{-frac{1}{6}}{1-frac{1}{3}}$

$S_1+S_2+...+S_n = frac{-frac{1}{6}}{frac{2}{3}}$

$S_1+S_2+...+S_n =-frac{1}{4}$

Alternativa correta é Letra B.

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