Questão 53

UFPR 2017

Matemática

(UFPR - 2017 - 1ª FASE)

Sobre as funções reais $f(x) = sqrt{x+2}$ e $g(x)=x^{2}-1$ , identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F):

( ) O domínio da função 𝒇 é 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = {𝒙 ∈ ℝ; 𝒙 ≥ 𝟎}.

( ) (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = √𝒙^𝟐 + 𝟏.

( ) A imagem de 𝒇 coincide com a imagem de 𝒈, ou seja, 𝑰𝒎(𝒇) = 𝑰𝒎(𝒈).

( ) Os gráficos dessas funções se cruzam apenas uma vez.

Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo.

F – V – F – F

V – V – F – V.

V – F – V – F.

F – V – V – F.

V – F – F – V.

Gabarito:

F – V – F – F

Resolução:

(I):

$f(x) = sqrt{x+2}$

$x+2 geq 0$

$x geq -2$

Então:

$D(f) = {x in mathbb{R}|xgeq -2}$

Falsa

(II):

$f(g(x))= sqrt{g + 2}$

$f(g(x))= sqrt{x^2 - 1 + 2}$

$f(g(x))= sqrt{x^2 +1}$

Verdadeiro

(III):

$ext{Im}(f) = {y in mathbb{R}|ygeq 0}$

$ext{Im}(g) = {y in mathbb{R}|ygeq -1}$

Então não são iguais, logo falso

(IV):

$x^2-1 = sqrt{x+2}$

$(x^2-1)^2 = (sqrt{x+2})^2$

$x^4 - 2x + 1 = x+2$

$x^4 - 2x^2 - x -1 = 0$

Essa equação tem 4 raízes, logo se cruzam mais de 1 vez.

Falso

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