Questão 3

UFPR 2017

Matemática

(UFPR - 2017 - 2ª FASE)

Uma empresa de telefonia oferece três planos mensais de internet móvel, descritos abaixo.
- Plano Ilimitado: mensalidade fixa de R$ 100,00 que permite ao cliente utilizar quantos gigabytes (GB) de dados desejar, sem pagar nada a mais.
- Plano Intermediário: mensalidade fixa de R$ 28,00 mais R$ 4,50 por GB de dados consumidos.
- Plano Simples: não há mensalidade, porém o cliente paga R$ 12,00 por GB de dados consumidos. Por exemplo, um consumo de 5 GB de dados em um mês custa R$ 100,00 para clientes do Plano Ilimitado, custa R$28,000+5 x R$4,50 = R$50,50 para clientes do Plano Intermediário e custa 5 x R$12,00 = R$60,00 para clientes do Plano Simples.

a) A partir de quantos GB de dados consumidos por mês o Plano Ilimitado fica mais vantajoso, ou seja, mais barato, que o Plano Intermediário?

b) A empresa pretende criar um novo plano de dados, chamado Plano Básico. Esse plano terá formato semelhante ao do Plano Intermediário, consistindo também de uma mensalidade fixa mais um preço por GB de dados consumidos. Além disso, o Plano Básico deverá satisfazer a duas condições:
- Ter o mesmo valor que o Plano Simples para clientes que consumirem 3 GB de dados por mês.
- Ter o mesmo valor que o Plano Intermediário para clientes que consumirem 8 GB de dados por mês.

Quais devem ser o valor da mensalidade e o valor de cada GB de dados consumidos para que o Plano Básico cumpra as duas condições acima?

Gabarito:

Resolução:

O plano intermediário corresponde a função $f(x) = 4,5x + 28$ , para ocorrer o que queremos:

$100 < 4,5x + 28$

$72< 4,5x$

$16< x$

Calculando o plano simples

$P_s(3) = 12 cdot 3$

$P_s(3) = 36$

Calculando o plano intermediário:

$P_{int}(8) = 28 + 4,5cdot 8$

$P_{int}(8) = 28 + 36$

$P_{int}(8) = 64$

Calculando o plano básico:

$P_b (3) = 36$

(I): $3a+b = 36$

Também:

$P_b (8) = 64$

(II): $8a + b = 64$

Fazendo (II)-(I):

$28 = 5a$

$a=5,60$

Substituindo em (I):

$36 = 3cdot 5,60 + b$

$36 = 16,8 + b$

$b = 19,20$

Então o Plano Básico segue a função $g(x) = 19,20 + 5,60x$

Portando a mensalidade é R$ 19,20 e o custo de cada GB é de R$ 5,60.

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