Questão 50

UFPR 2017

Matemática

(UFPR - 2017 - 1ª FASE)

Considere as seguintes afirmativas a respeito da sequência de números $x_{n} = frac{1}{(2i)^{n}}$ _, com 𝒊 = $sqrt{-1}$ e 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … :

O quinto elemento dessa sequência pode ser escrito na forma $x_{5}=-frac{i}{32}$
𝒙𝒏 é um número imaginário puro, qualquer que seja 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
|𝒙𝒏| se aproxima de zero conforme 𝒏 cresce.

Assinale a alternativa correta.

Somente a afirmativa 2 é verdadeira.

Somente a afirmativa 3 é verdadeira.

Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.

Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

Gabarito:

Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

Resolução:

Fazendo a (I):

$x_5 = frac{1}{(2i)^5}$

$x_5 = frac{1}{2^5cdot i^4 cdot i^1}$

$x_5 = frac{1}{2^5cdot i}$

$x_5 = frac{1}{32i}$

$x_5 = frac{(1) cdot (-i)}{(32i)cdot (-i)}$

$x_5 = frac{-i}{32}$

Verdadeiro

Fazendo a (II):

$x_4 = frac{1}{(2i)^4}$

$x_4 = frac{1}{16cdot i^4}$

$x_4 = frac{1}{16}$

Não é imaginário, logo é falso

Fazendo a (III):

$x_n = frac{1}{(2i)^n}$

$|x_n| = frac{sqrt{1^2 + 0^2}}{sqrt{0^2 + (2^n)^2}}$

$|x_n| = frac{1}{2^n}$

Analisando podemos ver que é decrescente, então verdadeiro

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