Questão 53651

UFPR 2015

Matemática

(UFPR - 2015 - 2ª FASE)

O jogo de “par ou ímpar” é uma forma bastante usada para resolver aleatoriamente um impasse entre duas pessoas. Cada participante escolhe uma das opções – par ou ímpar – e a seguir ambos mostram as mãos, escondendo ou não alguns dedos. Contam-se os dedos aparentes e vence quem tiver acertado a escolha (par ou ímpar) acordada previamente.

Se duas pessoas jogarem par ou ímpar 5 vezes seguidas:

a) Qual a probabilidade de se obterem no máximo 2 resultados pares?

b) Sabendo que na primeira rodada saiu um número par, qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 resultados pares?

Gabarito:

Resolução:

a) Para isso vamos calcular a probabilidade de obtermos 0 vezes par, 1 vez par e 2 vezes par.

Obtendo nenhuma vez par, ou seja, precisamos obter a sequência I-I-I-I-I, onde I corresponde a um resultado ímpar, a probabilidade de todos os cinco jogos terminem em ímpar será de:

$P_0 = frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2} = frac{1}{32}$

Obtendo 1 vez par, ou seja, precisamos obter uma sequência do tipo P-I-I-I-I, onde P corresponde a um resultado par, nesse caso é importante notar que P pode aparecer em qualquer uma das cinco posições, portanto teremos:

$P_1 = frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2} cdot 5= frac{5}{32}$

Já a probabilidade de obtermos dois pares, teremos P-P-I-I-I, por exemplo, calculando essa probabilidade, temos:

$P_2 = frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2} cdot 10= frac{10}{32}$

Somando as probabilidades, obtemos:

$frac{1}{32}+frac{5}{32}+frac{10}{32} = frac{16}{32} = frac{1}{2}$

b) Para obtermos esse caso, temos que obter 2 pares nos 4 jogos restantes, ou seja, teremos as permutações da sequência P-P-I-I, sendo assim temos:

$P = frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot 6 = frac{6}{16} = frac{3}{8}$

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