Questão 53648

UFPR 2015

Matemática

(UFPR - 2015 - 2ª FASE)

Um cone circular reto está inscrito em uma esfera de raio 2 cm. Indiquemos por x a distância do centro da esfera ao centro da base do cone.

a) Se x = 1 cm, calcule o volume do cone.

b) Calcule o valor de x, sabendo que o volume da esfera é quatro vezes o volume do cone

Gabarito:

Resolução:

a) Olhando para o triângulo apresentado na figura, temos:

Como no item é dado que x = 1 cm, teremos que:

$2^2 = 1^2 + r^2 Leftrightarrow r^2 = 3$ cm

Além disso, a altura do nosso cone pode ser representada por:

Com isso temos que a altura do cone será 3 cm.

Dessa forma, temos que o volume do cone será:

$V_C = frac{A_{base}cdot h}{3} = frac{pi cdot r^2cdot h}{3} = frac{pi cdot 3 cdot 3}{3} = 3pi$ cm³.

b) Do enunciado da alternativa, temos que:

$V_E = 4V_C$

$frac{4}{3} pi cdot R^3 = 4cdot frac{picdot r^2 cdot h}{3}$

Onde R é o raio da esfera, r é o raio da base do cone e h a altura do cone. Substituindo R = 2 e simplificando, obtemos:

$8 = r^2cdot h$

Olhando para essa figura novamente

Vemos que a altura h será igual a 2 + x e olhando para o triângulo retângulo formado, temos:

$2^2 = r^2 + x^2 Leftrightarrow r^2 = 4-x^2$

Substituindo r² e h na primeira equação, teremos:

$8 = r^2cdot h$

$8 = (4-x^2)cdot(2+x) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 8 = 8 + 4x -2x^2 - x^3 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x^3+2x^2-4x = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow xcdot(x^2+2x-4) = 0$

Como temos um produto resultando em zero, temos que ou $x = 0$ ou $(x^2+2x-4) = 0$

Resolvendo a segunda igualdade, obtemos:

$x^2+2x-4 = 0 Leftrightarrow x = pmsqrt{5} - 1$

Dos três possíveis valores de x, vemos que x não pode ser negativo, então temos duas possibilidades $x = sqrt{5} - 1$ ou $x = 0$ (pela representação x = 0 não faz sentido já que x não é um ponto).

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