Questão 53647

UFPR 2015

Matemática

(UFPR - 2015 - 2ª FASE)

O projeto de uma escadaria prevê o uso de três postes verticais paralelos para sustentar uma armação. Os postes foram espaçados paralelamente ao longo da base da estrutura, como indicado na figura abaixo:

a) Calcule a altura h.

b) Calcule as distâncias x, y e z.

Gabarito:

Resolução:

a) Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo maior, temos:

$240^2 = h^2 + (75+60+45)^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow h^2 = 57600 - (180)^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow h^2 = 57600 - 32400 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow h^2 = 25200 Leftrightarrow h = 60sqrt{7}$

b) Usando semelhança de triângulos nos triângulos de hipotenusa 240 e hipotenusa z, temos:

$frac{240}{z} = frac{75 + 60 + 45}{45} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{240}{z} = frac{180}{45} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{240}{z} = 4 Leftrightarrow z = 60$ cm

Usando semelhança de triângulos nos triângulos de hipotenusa z e hipotenusa z+y, temos:

$frac{z+y}{z} = frac{60 + 45}{45} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 45(z+y) = 105(z) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 45y = 60z Leftrightarrow y = frac{4}{3}z Leftrightarrow$

$Leftrightarrow y = frac{4}{3}cdot(60) Leftrightarrow y = 80$ cm

Substituindo y e z na equação $x + y + z = 240$ , temos que $x +80+60 = 240 Leftrightarrow x = 100$ cm.

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