Questão 53644

UFPR 2015

Matemática

(UFPR - 2015 - 2ª FASE)

Num experimento agrícola envolvendo o plantio de um determinado cereal, observou-se que o número de sacas produzidas por hectare depende da quantidade de sementes plantadas. A tabela abaixo descreve alguns dados coletados nesse experimento: Suponha que a relação entre N e t possa ser escrita como uma função da forma:

$N = a.t^{2} + b.t+c$

a) Calcule os coeficientes a, b e c na expressão de N.

b) Para qual valor t o número de sacas N será máximo?

Gabarito:

Resolução:

a) Substituindo pelos valores apresentados na tabela, temos o seguinte sistema:

$egin{cases} 70 = acdot3^{2} + bcdot3+c\ 85 = acdot4^{2} + bcdot4+c \ 80 = acdot5^{2} + bcdot5+c end{cases} Leftrightarrow egin{cases} 70 = 9a + 3b+c\ 85 = 16a + 4b+c \ 80 = 25a + 5b+c end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases} c = 70 - 9a - 3b\ 4b = 85 - 16a - c \ 80 = 25a + 5b+c end{cases} Leftrightarrow egin{cases} c = 70 - 9a - 3b\ 4b = 85 - 16a - (70 - 9a - 3b) \ 80 = 25a + 5b+c end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases} c = 70 - 9a - 3b\ b = 15 - 7a \ 80 = 25a + 5b+c end{cases} Leftrightarrow egin{cases} c = 70 - 9a - 3b\ b = 15 - 7a \ 80 = 25a + 5b+(70-9a-3b) end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases} c = 70 - 9a - 3b\ b = 15 - 7a \ 10 = 16a + 2bend{cases} Leftrightarrow egin{cases} c = 70 - 9a - 3b\ b = 15 - 5a \ 10 = 16a + 2(15-7a)end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases} c = 70 - 9a - 3b\ b = 15 - 7a \ 2a = -20end{cases} Leftrightarrow egin{cases} c = 70 - 9a - 3b\ b = 15 +70 \ a = -10end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases} c = 70 + 90 - 3b\ b = 85 \ a = -10end{cases} Leftrightarrow egin{cases} c = 160 - 255\ b = 85 \ a = -10end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases} c = -95\ b = 85 \ a = -10end{cases}$

b) Com os valores encontrados anteriormente, conseguimos montar a seguinte função do segundo grau:

$N = -10t^2 + 85t - 95$

Como se trata de uma função quadrática, seu máximo será atingido no vértice, ou seja, quando $t = -frac{b}{2a} = -frac{85}{2cdot(-10)} = 4,25$ .

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