Questão 53309

UFPR 2015

Matemática

(UFPR - 2015 - 2ª FASE)

Um triângulo isósceles possui dois lados medindo 2 cm e um ângulo $heta$ entre esses dois lados, conforme indica a figura:

a) Calcule a área desse triângulo para $heta$ = 45°.

b) Para qual ângulo $heta$ a área do triângulo é máxima? Justifique sua resposta. (Sugestão: escreva a base e a altura do triângulo em função de $frac{ heta}{2}$ e use a relação $2senleft(frac{ heta}{2} ight ) cdot cosleft(frac{ heta}{2} ight ) = sen heta$

Gabarito:

Resolução:

a) Para calcular a área vamos utilizar a fórmula:

$A = frac{bcdot ccdot sen(alpha)}{2}$

Onde b e c são lados do triângulo e alpha o ângulo formado entre esses lados. Sendo assim, temos:

$A = frac{2cdot 2cdot sen(45^{circ})}{2} = sqrt{2}$

b) Traçando a altura do nosso triângulo, construímos a seguinte figura:

Olhando para o triângulo ABM, temos que:

$senleft ( frac{ heta}{2} ight ) = frac{x}{2} Leftrightarrow x = 2cdot senleft ( frac{ heta}{2} ight )$

$cosleft ( frac{ heta}{2} ight ) = frac{h}{2} Leftrightarrow h = 2cdot cosleft ( frac{ heta}{2} ight )$

Dessa forma, podemos reescrever a fórmula para calcular a área do triângulo ABC da seguinte maneira:

$A_{ABC} = frac{bcdot h}{2} = frac{2xcdot h}{2}$

Substituindo x e h pelos valores encontrados anteriormente, temos:

$A_{ABC} = frac{2xcdot h}{2} = 2cdot senleft ( frac{ heta}{2} ight ) cdot 2 cdot cosleft ( frac{ heta}{2} ight )$

Utilizando a identidade trigonométrica dada no enunciado temos que a área do triângulo ABC será:

$A_{ABC} = 2cdot sen( heta)$

Como a função seno varia entre -1 e 1, a área do triângulo assumirá valor máximo, quando $sen( heta) = 1 Leftrightarrow heta = 90^{circ}$ .

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