Questão 53252

UFPR 2015

Matemática

(UFPR - 2015 - 2ª FASE)

Um método numérico bastante eficiente para se obter o valor aproximado da raiz quadrada de um número a > 0 consiste em duas etapas:

Etapa 1: escolher o valor inicial $x_{0} > 0$

Etapa 2: calcular as aproximações seguintes por meio da expressão $x_{n+1} = frac{x_{n}^{2}+a}{2cdot x_{n}}$ sendo n um número
natural.

a) Calcule $x_{1}$ e $x_{2}$ para $a=5$ e $x_{0} = 2$

b) Nas condições do item anterior, verifique que $left | left(x_{2} ight )^{2} - 5 ight | < 10^{-3}$

Gabarito:

Resolução:

a) Substituíndo os valores, temos:

$x_{1} = frac{x_{0}^{2}+5}{2cdot x_{0}} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x_{1} = frac{2^{2}+5}{2cdot 2} Leftrightarrow x_1 = frac{9}{4}$

$x_{2} = frac{x_{1}^{2}+5}{2cdot x_{1}} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x_{2} = frac{left ( frac{9}{4} ight )^{2}+5}{2cdot left ( frac{9}{4} ight )} Leftrightarrow x_2 = frac{161}{72}$

b) Substituindo e desenvolvendo a inequação, temos:

$left | left(frac{161}{72} ight )^{2} - 5 ight | < 10^{-3} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left | frac{25921}{5184} - frac{25920}{5184} ight | < frac{1}{1000} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left | frac{1}{5184} ight | < frac{1}{1000} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{1}{5184} < frac{1}{1000} Leftrightarrow 1000 < 5184$

O que é verdade.

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