Questão 12359

UFMG 2005

Matemática

(UFMG - 2005) Um triângulo tem como vértices os pontos A = (0,1), B = (0,9) e C = (4,9). Sabe-se que a reta x = k divide o triângulo ABC em duas regiões de mesma área. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o valor de k é igual a

Gabarito:

Resolução:

1) Interpretando o enunciado:

2) O ponto D está na coordenada (k, 9)

3) O ponto E está na reta y=2x+1, logo para x=k: y=2k+1

Logo, o ponto é está na coordenada (k, 2k+1)

4) Como a reta x = k divide o triângulo ABC em duas regiões de mesma área, temos que:

$left|egin{vmatrix}:0:&:1:&:1:\ :::k:&:9:&:1:\ :::0:&:9:&:1:end{vmatrix} ight|:+:left|egin{vmatrix}:0:&:1:&:1:\ :::k:&:9:&:1:\ :::k&:2k+1&:1:end{vmatrix} ight|:=:left|egin{vmatrix}:k:&:2k:+1:&:1:\ :::k:&:9:&:1:\ :::4:&:9:&:1:end{vmatrix} ight|$

$|8k|+|2k^2-8k|=|-2k^2+16k-32|$

5) Testando para cada todos os intervalos:

6) Testando:

$mathrm{Para:}kle :0:quad mathrm{Sem:solução}$

$mathrm{Para:}kge :4:quad mathrm{Sem:solução}$

$mathrm{Para:}0<k<4:quad k=4-2sqrt{2}$

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